Objetivo da Aula
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Compreender que, para comparar frações com denominadores diferentes, é necessário transformá-las em frações equivalentes que tenham o mesmo denominador;
- Utilizar dois métodos práticos para a comparação: o método do denominador comum (usando o MMC dos denominadores) e o método da multiplicação cruzada;
- Comparar e ordenar frações com denominadores diferentes em ordem crescente e decrescente;
- Aplicar a comparação de frações na resolução de problemas do cotidiano.
Por que isso é importante?
Na Aula 5, você aprendeu a comparar frações quando os denominadores são iguais — basta olhar para os numeradores. Mas, na prática, as frações raramente vêm com o mesmo denominador. Uma receita pode pedir 2/3 de xícara de leite, e outra, 3/4 de xícara de óleo. Qual é maior? Um corredor percorreu 5/8 da pista, e seu adversário, 7/12. Quem está na frente?
Para responder a essas perguntas, você precisa de uma estratégia que coloque as frações "na mesma base" — ou seja, que as reescreva com o mesmo denominador. Isso é feito com o auxílio das frações equivalentes, que você aprendeu no Módulo 1. Dominar a comparação de frações com denominadores diferentes é uma habilidade que fecha o ciclo das comparações e prepara você para a adição e a subtração de frações, que virão no Módulo 3.
Para responder a essas perguntas, você precisa de uma estratégia que coloque as frações "na mesma base" — ou seja, que as reescreva com o mesmo denominador. Isso é feito com o auxílio das frações equivalentes, que você aprendeu no Módulo 1. Dominar a comparação de frações com denominadores diferentes é uma habilidade que fecha o ciclo das comparações e prepara você para a adição e a subtração de frações, que virão no Módulo 3.
Contexto Curioso
A dificuldade de comparar frações com denominadores diferentes atormentou a humanidade por séculos. Os egípcios, com seu sistema de frações unitárias, precisavam decompor uma fração como 2/3 em 1/2 + 1/6 para conseguir compará-la com outras quantidades. Era um processo tão trabalhoso que os escribas tinham tabelas prontas de conversão.
O método de encontrar um denominador comum — que você aprenderá hoje — foi sistematizado pelos matemáticos indianos e árabes entre os séculos VII e IX. Eles perceberam que, se você multiplicar (ou melhor, encontrar um múltiplo comum) os denominadores, pode reescrever qualquer conjunto de frações com o mesmo "tamanho de parte". Esse insight simples revolucionou a aritmética e tornou as frações acessíveis a muito mais pessoas.
Hoje, além do método do denominador comum, você também aprenderá a multiplicação cruzada — um atalho rápido e elegante que permite comparar duas frações em um único passo, sem precisar reescrevê-las.
O método de encontrar um denominador comum — que você aprenderá hoje — foi sistematizado pelos matemáticos indianos e árabes entre os séculos VII e IX. Eles perceberam que, se você multiplicar (ou melhor, encontrar um múltiplo comum) os denominadores, pode reescrever qualquer conjunto de frações com o mesmo "tamanho de parte". Esse insight simples revolucionou a aritmética e tornou as frações acessíveis a muito mais pessoas.
Hoje, além do método do denominador comum, você também aprenderá a multiplicação cruzada — um atalho rápido e elegante que permite comparar duas frações em um único passo, sem precisar reescrevê-las.
Teoria Explicada do Zero
O Problema: Denominadores Diferentes
Quando as frações têm denominadores diferentes, as "partes" são de tamanhos diferentes. Um terço (1/3) é maior que um quarto (1/4), porque o mesmo todo foi dividido em menos partes. Por isso, não basta comparar os numeradores — é preciso igualar o tamanho das partes.
Exemplo: Qual é maior: 2/3 ou 3/4?
Não podemos comparar diretamente, porque terços e quartos são partes de tamanhos diferentes.
Método 1: Transformar em Frações Equivalentes (Denominador Comum)
O método mais seguro é encontrar um denominador comum para as duas frações. O melhor denominador comum é o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores originais. Se você não se lembra do MMC, pode usar o produto dos denominadores como denominador comum (funciona, mas os números podem ficar maiores).
Passo a passo (usando o MMC):
1. Encontre o MMC dos denominadores.
2. Transforme cada fração em uma fração equivalente com o denominador igual ao MMC.
3. Compare os numeradores das novas frações.
Exemplo Guiado: Comparar 2/3 e 3/4.
· Passo 1: MMC de 3 e 4 é 12.
· Passo 2: Transforme 2/3 em ?/12. 3 × 4 = 12, então multiplicamos o numerador por 4 também: 2 × 4 = 8. Fração: 8/12.
· Passo 3: Transforme 3/4 em ?/12. 4 × 3 = 12, então multiplicamos o numerador por 3 também: 3 × 3 = 9. Fração: 9/12.
· Passo 4: Compare: 8/12 < 9/12. Portanto, 2/3 < 3/4.
Passo a passo (usando o produto dos denominadores):
· Produto dos denominadores: 3 × 4 = 12 (neste caso, coincide com o MMC, mas nem sempre).
· 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12.
· 3/4 = (3×3)/(4×3) = 9/12.
· Compare: 8 < 9, portanto 2/3 < 3/4.
Método 2: Multiplicação Cruzada (Atalho)
Para comparar duas frações rapidamente, use a multiplicação cruzada (a mesma que você aprendeu na Aula 5 do Módulo 1 para verificar equivalência, mas agora para comparar):
1. Multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
2. Multiplique o denominador da primeira pelo numerador da segunda.
3. Compare os produtos. O lado que tiver o maior produto corresponde à maior fração.
Exemplo Guiado: Comparar 5/8 e 3/5.
· Multiplicação cruzada:
5 × 5 = 25 (produto 1: lado da fração 5/8)
8 × 3 = 24 (produto 2: lado da fração 3/5)
· Compare: 25 > 24. O produto maior veio de 5 × 5, que está ligado à fração 5/8.
· Portanto, 5/8 > 3/5.
Por que funciona? A multiplicação cruzada é um atalho para o método do denominador comum. Quando multiplicamos 5 × 5 e 8 × 3, estamos, na verdade, comparando as frações 25/40 e 24/40 — mas sem precisar escrever o denominador comum 40.
Quadro-Resumo: Métodos de Comparação
Quando as frações têm denominadores diferentes, as "partes" são de tamanhos diferentes. Um terço (1/3) é maior que um quarto (1/4), porque o mesmo todo foi dividido em menos partes. Por isso, não basta comparar os numeradores — é preciso igualar o tamanho das partes.
Exemplo: Qual é maior: 2/3 ou 3/4?
Não podemos comparar diretamente, porque terços e quartos são partes de tamanhos diferentes.
Método 1: Transformar em Frações Equivalentes (Denominador Comum)
O método mais seguro é encontrar um denominador comum para as duas frações. O melhor denominador comum é o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores originais. Se você não se lembra do MMC, pode usar o produto dos denominadores como denominador comum (funciona, mas os números podem ficar maiores).
Passo a passo (usando o MMC):
1. Encontre o MMC dos denominadores.
2. Transforme cada fração em uma fração equivalente com o denominador igual ao MMC.
3. Compare os numeradores das novas frações.
Exemplo Guiado: Comparar 2/3 e 3/4.
· Passo 1: MMC de 3 e 4 é 12.
· Passo 2: Transforme 2/3 em ?/12. 3 × 4 = 12, então multiplicamos o numerador por 4 também: 2 × 4 = 8. Fração: 8/12.
· Passo 3: Transforme 3/4 em ?/12. 4 × 3 = 12, então multiplicamos o numerador por 3 também: 3 × 3 = 9. Fração: 9/12.
· Passo 4: Compare: 8/12 < 9/12. Portanto, 2/3 < 3/4.
Passo a passo (usando o produto dos denominadores):
· Produto dos denominadores: 3 × 4 = 12 (neste caso, coincide com o MMC, mas nem sempre).
· 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12.
· 3/4 = (3×3)/(4×3) = 9/12.
· Compare: 8 < 9, portanto 2/3 < 3/4.
Método 2: Multiplicação Cruzada (Atalho)
Para comparar duas frações rapidamente, use a multiplicação cruzada (a mesma que você aprendeu na Aula 5 do Módulo 1 para verificar equivalência, mas agora para comparar):
1. Multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
2. Multiplique o denominador da primeira pelo numerador da segunda.
3. Compare os produtos. O lado que tiver o maior produto corresponde à maior fração.
Exemplo Guiado: Comparar 5/8 e 3/5.
· Multiplicação cruzada:
5 × 5 = 25 (produto 1: lado da fração 5/8)
8 × 3 = 24 (produto 2: lado da fração 3/5)
· Compare: 25 > 24. O produto maior veio de 5 × 5, que está ligado à fração 5/8.
· Portanto, 5/8 > 3/5.
Por que funciona? A multiplicação cruzada é um atalho para o método do denominador comum. Quando multiplicamos 5 × 5 e 8 × 3, estamos, na verdade, comparando as frações 25/40 e 24/40 — mas sem precisar escrever o denominador comum 40.
Quadro-Resumo: Métodos de Comparação
| Método | Como Fazer | Exemplo |
| Denominador Comum (MMC) | Transforme as frações em equivalentes com o MMC dos denominadores e compare os numeradores. | 2/3 e 3/4 → 8/12 e 9/12 → 2/3 < 3/4. |
| Multiplicação Cruzada | Multiplique o numerador de A pelo denominador de B e compare com o numerador de B pelo denominador de A. O maior produto indica a maior fração. | 5/8 e 3/5: 5×5=25, 8×3=24 → 5/8 > 3/5. |
Exemplos Comentados
Exemplo 1 – Usando o MMC:
"Qual é maior: 4/6 ou 3/4?"
· Análise: MMC de 6 e 4 é 12. 4/6 = 8/12; 3/4 = 9/12. 8 < 9.
· Resultado: 4/6 < 3/4.
Exemplo 2 – Usando a Multiplicação Cruzada:
"Qual é maior: 7/10 ou 5/8?"
· Análise: 7 × 8 = 56; 10 × 5 = 50. 56 > 50.
· Resultado: 7/10 > 5/8.
Exemplo 3 – Ordenando Várias Frações:
"Coloque em ordem crescente: 2/5, 3/4, 1/2."
· Análise: MMC de 5, 4 e 2 é 20. 2/5 = 8/20; 3/4 = 15/20; 1/2 = 10/20. Ordenando: 8/20, 10/20, 15/20.
· Resultado: 2/5, 1/2, 3/4.
Exemplo 4 – Problema Cotidiano:
"João comeu 3/5 de uma pizza, e Maria comeu 5/8 de outra pizza do mesmo tamanho. Quem comeu mais?"
· Análise (multiplicação cruzada): 3 × 8 = 24; 5 × 5 = 25. 24 < 25.
· Resultado: Maria comeu mais (5/8 > 3/5).
"Qual é maior: 4/6 ou 3/4?"
· Análise: MMC de 6 e 4 é 12. 4/6 = 8/12; 3/4 = 9/12. 8 < 9.
· Resultado: 4/6 < 3/4.
Exemplo 2 – Usando a Multiplicação Cruzada:
"Qual é maior: 7/10 ou 5/8?"
· Análise: 7 × 8 = 56; 10 × 5 = 50. 56 > 50.
· Resultado: 7/10 > 5/8.
Exemplo 3 – Ordenando Várias Frações:
"Coloque em ordem crescente: 2/5, 3/4, 1/2."
· Análise: MMC de 5, 4 e 2 é 20. 2/5 = 8/20; 3/4 = 15/20; 1/2 = 10/20. Ordenando: 8/20, 10/20, 15/20.
· Resultado: 2/5, 1/2, 3/4.
Exemplo 4 – Problema Cotidiano:
"João comeu 3/5 de uma pizza, e Maria comeu 5/8 de outra pizza do mesmo tamanho. Quem comeu mais?"
· Análise (multiplicação cruzada): 3 × 8 = 24; 5 × 5 = 25. 24 < 25.
· Resultado: Maria comeu mais (5/8 > 3/5).
O Essencial (Guarde Isso)
- Para comparar frações com denominadores diferentes, iguale os denominadores usando frações equivalentes (MMC) ou use a multiplicação cruzada.
- Método do MMC: encontre o MMC dos denominadores, transforme as frações e compare os numeradores.
- Método da Multiplicação Cruzada: multiplique o numerador de cada fração pelo denominador da outra. O lado com o maior produto tem a maior fração.
- A multiplicação cruzada é um atalho que funciona para comparar duas frações. Para três ou mais, use o MMC.
Dicas Práticas
Dica 1 (MMC para várias frações, cruzada para duas): Se você tiver três ou mais frações para ordenar, use o MMC. Se forem apenas duas, a multiplicação cruzada é mais rápida.
Dica 2 (Simplifique antes de comparar): Se as frações puderem ser simplificadas, faça isso primeiro. É mais fácil comparar 1/2 do que 5/10.
Dica 3 (Desenhe se tiver dúvida): Se os números não forem óbvios, desenhe barras do mesmo tamanho e pinte as frações. A visualização resolve qualquer impasse.
Dica 4 (A multiplicação cruzada não é "magia"): Ela equivale a colocar as duas frações sobre o mesmo denominador (o produto dos denominadores) sem escrevê-lo. Se você esquecer como funciona, volte ao método do denominador comum.
Dica 2 (Simplifique antes de comparar): Se as frações puderem ser simplificadas, faça isso primeiro. É mais fácil comparar 1/2 do que 5/10.
Dica 3 (Desenhe se tiver dúvida): Se os números não forem óbvios, desenhe barras do mesmo tamanho e pinte as frações. A visualização resolve qualquer impasse.
Dica 4 (A multiplicação cruzada não é "magia"): Ela equivale a colocar as duas frações sobre o mesmo denominador (o produto dos denominadores) sem escrevê-lo. Se você esquecer como funciona, volte ao método do denominador comum.
Dúvidas Frequentes
A multiplicação cruzada sempre funciona?
Sim, para comparar duas frações. Ela é matematicamente equivalente a encontrar um denominador comum (o produto dos denominadores) e comparar os numeradores.
O que é melhor: MMC ou produto dos denominadores?
O MMC geralmente resulta em números menores e mais fáceis de trabalhar. O produto dos denominadores sempre funciona, mas pode gerar números desnecessariamente grandes.
Como comparar uma fração com um número misto?
Transforme o número misto em fração imprópria (Aula 4) e depois compare as duas frações usando um dos métodos.
Sim, para comparar duas frações. Ela é matematicamente equivalente a encontrar um denominador comum (o produto dos denominadores) e comparar os numeradores.
O que é melhor: MMC ou produto dos denominadores?
O MMC geralmente resulta em números menores e mais fáceis de trabalhar. O produto dos denominadores sempre funciona, mas pode gerar números desnecessariamente grandes.
Como comparar uma fração com um número misto?
Transforme o número misto em fração imprópria (Aula 4) e depois compare as duas frações usando um dos métodos.
Exercícios
Nível FácilQuestão 1 – Compare as frações usando a multiplicação cruzada (>, < ou =):
a) 1/2 e 2/3 → 1/2 ____ 2/3
b) 3/5 e 2/5 → 3/5 ____ 2/5
c) 4/7 e 3/6 → 4/7 ____ 3/6
Questão 2 – Compare as frações usando o MMC dos denominadores:
a) 1/4 e 1/6 → ____ e ____ → 1/4 ____ 1/6
b) 2/3 e 5/6 → ____ e ____ → 2/3 ____ 5/6
Questão 3 – Verdadeiro ou Falso?
a) ( ) 3/8 < 5/12 (Use o método que preferir.)
b) ( ) 7/10 > 2/3
c) ( ) 4/9 = 8/18
Nível MédioQuestão 4 – Ordene as frações em ordem crescente: 3/4, 1/2, 5/8. (Dica: encontre o MMC de 4, 2 e 8.)
Questão 5 – Em uma competição, um atleta percorreu 7/10 do trajeto, e outro percorreu 5/8. Qual deles percorreu a maior distância? Use a multiplicação cruzada.
Questão 6 – Ana comeu 2/5 de uma barra de chocolate, e Bia comeu 3/7 de outra barra do mesmo tamanho. Quem comeu mais?
Nível AvançadoQuestão 7 – Desafio:
Três irmãos receberam mesadas diferentes. O primeiro recebeu 3/8 do total destinado aos três, o segundo recebeu 2/5 e o terceiro recebeu o restante. Qual irmão recebeu a maior mesada? Ordene as frações 3/8, 2/5 e a fração correspondente ao terceiro irmão.
a) 1/2 e 2/3 → 1/2 ____ 2/3
b) 3/5 e 2/5 → 3/5 ____ 2/5
c) 4/7 e 3/6 → 4/7 ____ 3/6
Questão 2 – Compare as frações usando o MMC dos denominadores:
a) 1/4 e 1/6 → ____ e ____ → 1/4 ____ 1/6
b) 2/3 e 5/6 → ____ e ____ → 2/3 ____ 5/6
Questão 3 – Verdadeiro ou Falso?
a) ( ) 3/8 < 5/12 (Use o método que preferir.)
b) ( ) 7/10 > 2/3
c) ( ) 4/9 = 8/18
Nível MédioQuestão 4 – Ordene as frações em ordem crescente: 3/4, 1/2, 5/8. (Dica: encontre o MMC de 4, 2 e 8.)
Questão 5 – Em uma competição, um atleta percorreu 7/10 do trajeto, e outro percorreu 5/8. Qual deles percorreu a maior distância? Use a multiplicação cruzada.
Questão 6 – Ana comeu 2/5 de uma barra de chocolate, e Bia comeu 3/7 de outra barra do mesmo tamanho. Quem comeu mais?
Nível AvançadoQuestão 7 – Desafio:
Três irmãos receberam mesadas diferentes. O primeiro recebeu 3/8 do total destinado aos três, o segundo recebeu 2/5 e o terceiro recebeu o restante. Qual irmão recebeu a maior mesada? Ordene as frações 3/8, 2/5 e a fração correspondente ao terceiro irmão.
Gabarito Comentado
Questão 1
a) 1/2 < 2/3. (1×3=3, 2×2=4 → 3 < 4)
b) 3/5 > 2/5. (Mesmo denominador, 3 > 2)
c) 4/7 > 3/6. (4×6=24, 7×3=21 → 24 > 21)
Questão 2
a) MMC(4,6)=12. 1/4 = 3/12; 1/6 = 2/12. 3 > 2 → 1/4 > 1/6.
b) MMC(3,6)=6. 2/3 = 4/6; 5/6 = 5/6. 4 < 5 → 2/3 < 5/6.
Questão 3
a) V. 3/8 = 9/24; 5/12 = 10/24. 9 < 10. Ou multiplicação cruzada: 3×12=36, 8×5=40 → 36 < 40.
b) F. 7/10 = 21/30; 2/3 = 20/30. 21 > 20 → 7/10 > 2/3. (Verdadeiro, não falso. Corrigindo: a afirmação é Verdadeira.)
c) V. Frações equivalentes: 4/9 = 8/18.
Questão 4
MMC(4,2,8)=8. 3/4 = 6/8; 1/2 = 4/8; 5/8 = 5/8.
Ordem crescente: 4/8, 5/8, 6/8 → 1/2, 5/8, 3/4.
Questão 5
7/10 e 5/8. 7×8=56; 10×5=50. 56 > 50 → 7/10 > 5/8. O primeiro atleta percorreu a maior distância.
Questão 6
2/5 e 3/7. 2×7=14; 5×3=15. 14 < 15 → 2/5 < 3/7. Bia comeu mais.
Questão 7
Frações: 3/8 e 2/5. MMC(8,5)=40. 3/8 = 15/40; 2/5 = 16/40. O segundo irmão (2/5) recebeu mais que o primeiro. O terceiro irmão recebeu o restante: 1 − (3/8 + 2/5) = 1 − (15/40 + 16/40) = 1 − 31/40 = 9/40. Ordenando: 9/40 (terceiro), 15/40 (primeiro), 16/40 (segundo). O segundo irmão recebeu a maior mesada.
a) 1/2 < 2/3. (1×3=3, 2×2=4 → 3 < 4)
b) 3/5 > 2/5. (Mesmo denominador, 3 > 2)
c) 4/7 > 3/6. (4×6=24, 7×3=21 → 24 > 21)
Questão 2
a) MMC(4,6)=12. 1/4 = 3/12; 1/6 = 2/12. 3 > 2 → 1/4 > 1/6.
b) MMC(3,6)=6. 2/3 = 4/6; 5/6 = 5/6. 4 < 5 → 2/3 < 5/6.
Questão 3
a) V. 3/8 = 9/24; 5/12 = 10/24. 9 < 10. Ou multiplicação cruzada: 3×12=36, 8×5=40 → 36 < 40.
b) F. 7/10 = 21/30; 2/3 = 20/30. 21 > 20 → 7/10 > 2/3. (Verdadeiro, não falso. Corrigindo: a afirmação é Verdadeira.)
c) V. Frações equivalentes: 4/9 = 8/18.
Questão 4
MMC(4,2,8)=8. 3/4 = 6/8; 1/2 = 4/8; 5/8 = 5/8.
Ordem crescente: 4/8, 5/8, 6/8 → 1/2, 5/8, 3/4.
Questão 5
7/10 e 5/8. 7×8=56; 10×5=50. 56 > 50 → 7/10 > 5/8. O primeiro atleta percorreu a maior distância.
Questão 6
2/5 e 3/7. 2×7=14; 5×3=15. 14 < 15 → 2/5 < 3/7. Bia comeu mais.
Questão 7
Frações: 3/8 e 2/5. MMC(8,5)=40. 3/8 = 15/40; 2/5 = 16/40. O segundo irmão (2/5) recebeu mais que o primeiro. O terceiro irmão recebeu o restante: 1 − (3/8 + 2/5) = 1 − (15/40 + 16/40) = 1 − 31/40 = 9/40. Ordenando: 9/40 (terceiro), 15/40 (primeiro), 16/40 (segundo). O segundo irmão recebeu a maior mesada.
Checklist da Aula 6
- Compreendi que frações com denominadores diferentes precisam ser transformadas para serem comparadas.
- Sei usar o MMC para encontrar um denominador comum e comparar frações.
- Sei usar a multiplicação cruzada para comparar duas frações rapidamente.
- Resolvi os exercícios e compreendi meus erros.
- Estou preparado(a) para a Aula 7 – Revisão do Módulo (Mapa Mental + Resumo).
Ligação com a Próxima Aula
Você agora sabe comparar frações em qualquer situação: com mesmo denominador, com denominadores diferentes, usando o MMC ou a multiplicação cruzada. Com isso, encerramos o conteúdo teórico do Módulo 2.
Na Aula 7 – Revisão do Módulo (Mapa Mental e Resumo Integrado), você consolidará tudo o que aprendeu sobre tipos de frações, números mistos e comparações em um único mapa visual. Até lá!
Na Aula 7 – Revisão do Módulo (Mapa Mental e Resumo Integrado), você consolidará tudo o que aprendeu sobre tipos de frações, números mistos e comparações em um único mapa visual. Até lá!
