Objetivo da Aula
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Aplicar a hierarquia das operações e a ordem dos símbolos de agrupamento em expressões que combinam soma, subtração, multiplicação e divisão;
- Resolver expressões numéricas com as quatro operações e com parênteses, colchetes e chaves, passo a passo;
- Verificar a importância de respeitar a ordem correta para obter o resultado certo.
Por que isso é importante?
Nas Aulas 1 e 2 deste módulo, você aprendeu a hierarquia das operações e o uso de parênteses, colchetes e chaves. Agora, é hora de juntar tudo — as quatro operações, os símbolos de agrupamento e números cada vez mais desafiadores — em uma única expressão.
No dia a dia, muitas situações exigem que você combine operações diferentes. Por exemplo, para calcular o troco de uma compra com desconto, você precisa multiplicar (o valor do desconto) e depois subtrair. Para dividir uma conta de restaurante entre amigos, você soma os gastos e depois divide. Expressões numéricas são a linguagem matemática que organiza esses cálculos de forma clara e precisa.
Saber resolver expressões combinadas é uma competência essencial para provas e concursos, mas também para a vida. E, acima de tudo, é um exercício de raciocínio lógico: você aprende a decompor um problema complexo em pequenas etapas organizadas.
No dia a dia, muitas situações exigem que você combine operações diferentes. Por exemplo, para calcular o troco de uma compra com desconto, você precisa multiplicar (o valor do desconto) e depois subtrair. Para dividir uma conta de restaurante entre amigos, você soma os gastos e depois divide. Expressões numéricas são a linguagem matemática que organiza esses cálculos de forma clara e precisa.
Saber resolver expressões combinadas é uma competência essencial para provas e concursos, mas também para a vida. E, acima de tudo, é um exercício de raciocínio lógico: você aprende a decompor um problema complexo em pequenas etapas organizadas.
Contexto Curioso
A ideia de escrever expressões com várias operações e símbolos de agrupamento é relativamente moderna. Na Idade Média, os matemáticos europeus ainda escreviam cálculos por extenso, em frases longas e complicadas. Foi o francês François Viète, no século XVI, quem começou a usar letras e símbolos para representar operações, criando o que hoje chamamos de notação algébrica. Viète acreditava que a matemática deveria ser uma língua universal, compreensível em qualquer país — e os símbolos de agrupamento foram um passo decisivo nessa direção.
Com o tempo, os parênteses, colchetes e chaves se consolidaram como uma espécie de "gramática da matemática". Eles são como os sinais de pontuação de um texto: sem eles, as frases ficam ambíguas; com eles, o sentido fica claro. Uma expressão como "3 + 4 × 2" pode ser interpretada de duas maneiras diferentes. Mas, com os símbolos de agrupamento, não há dúvida: (3 + 4) × 2 é uma coisa; 3 + (4 × 2) é outra. A hierarquia resolve a ambiguidade.
Com o tempo, os parênteses, colchetes e chaves se consolidaram como uma espécie de "gramática da matemática". Eles são como os sinais de pontuação de um texto: sem eles, as frases ficam ambíguas; com eles, o sentido fica claro. Uma expressão como "3 + 4 × 2" pode ser interpretada de duas maneiras diferentes. Mas, com os símbolos de agrupamento, não há dúvida: (3 + 4) × 2 é uma coisa; 3 + (4 × 2) é outra. A hierarquia resolve a ambiguidade.
Teoria Explicada do Zero
Relembrando a Hierarquia
Antes de resolver expressões com as quatro operações, vamos relembrar a ordem de prioridade que aprendemos nas Aulas 1 e 2:
Hierarquia das Operações:
Lembrete importante: Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade, assim como adição e subtração. Quando duas operações do mesmo nível aparecem juntas, resolva na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.
Estratégia para Resolver Expressões com as Quatro Operações
Quando você se depara com uma expressão longa, siga este roteiro de cinco etapas:
1. Identifique a camada mais interna: procure o símbolo de agrupamento mais "de dentro" — geralmente um parêntese — e resolva tudo o que está ali.
2. Respeite a hierarquia dentro da camada: dentro do parêntese (ou colchete, ou chave), a multiplicação e a divisão vêm antes da soma e da subtração.
3. Elimine a camada: substitua o símbolo de agrupamento pelo resultado obtido e reescreva a expressão.
4. Repita o processo para a próxima camada (colchete, depois chave) até eliminar todos os símbolos de agrupamento.
5. Resolva as operações restantes: com a expressão já sem símbolos de agrupamento, siga a hierarquia: multiplicação e divisão primeiro, depois soma e subtração.
Exemplo Guiado: 25 + { 3 × [ 10 - (4 + 2) ] } ÷ 3
Passo 1: Camada mais interna — o parêntese (4 + 2).
Dentro do parêntese, há apenas uma soma. Resolvemos: 4 + 2 = 6.
Reescrevemos a expressão: 25 + { 3 × [ 10 - 6 ] } ÷ 3.
Passo 2: Próxima camada — o colchete [ 10 - 6 ].
Dentro do colchete, há apenas uma subtração. Resolvemos: 10 - 6 = 4.
Reescrevemos a expressão: 25 + { 3 × 4 } ÷ 3.
Passo 3: Última camada — as chaves { 3 × 4 }.
Dentro das chaves, há apenas uma multiplicação. Resolvemos: 3 × 4 = 12.
Reescrevemos a expressão: 25 + 12 ÷ 3.
Passo 4: Operações restantes.
Seguindo a hierarquia, a divisão vem antes da soma: 12 ÷ 3 = 4.
Agora, resolvemos a soma: 25 + 4 = 29.
Resultado: 29.
Quadro-Resumo: Roteiro para Expressões Combinadas
Antes de resolver expressões com as quatro operações, vamos relembrar a ordem de prioridade que aprendemos nas Aulas 1 e 2:
Hierarquia das Operações:
| Nível de Prioridade | O que Resolver? |
| 1º | Parênteses ( ), depois Colchetes [ ], depois Chaves { } — sempre de dentro para fora. |
| 2º | Multiplicação (×) e Divisão (÷) — da esquerda para a direita. |
| 3º | Adição (+) e Subtração (−) — da esquerda para a direita. |
Lembrete importante: Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade, assim como adição e subtração. Quando duas operações do mesmo nível aparecem juntas, resolva na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.
Estratégia para Resolver Expressões com as Quatro Operações
Quando você se depara com uma expressão longa, siga este roteiro de cinco etapas:
1. Identifique a camada mais interna: procure o símbolo de agrupamento mais "de dentro" — geralmente um parêntese — e resolva tudo o que está ali.
2. Respeite a hierarquia dentro da camada: dentro do parêntese (ou colchete, ou chave), a multiplicação e a divisão vêm antes da soma e da subtração.
3. Elimine a camada: substitua o símbolo de agrupamento pelo resultado obtido e reescreva a expressão.
4. Repita o processo para a próxima camada (colchete, depois chave) até eliminar todos os símbolos de agrupamento.
5. Resolva as operações restantes: com a expressão já sem símbolos de agrupamento, siga a hierarquia: multiplicação e divisão primeiro, depois soma e subtração.
Exemplo Guiado: 25 + { 3 × [ 10 - (4 + 2) ] } ÷ 3
Passo 1: Camada mais interna — o parêntese (4 + 2).
Dentro do parêntese, há apenas uma soma. Resolvemos: 4 + 2 = 6.
Reescrevemos a expressão: 25 + { 3 × [ 10 - 6 ] } ÷ 3.
Passo 2: Próxima camada — o colchete [ 10 - 6 ].
Dentro do colchete, há apenas uma subtração. Resolvemos: 10 - 6 = 4.
Reescrevemos a expressão: 25 + { 3 × 4 } ÷ 3.
Passo 3: Última camada — as chaves { 3 × 4 }.
Dentro das chaves, há apenas uma multiplicação. Resolvemos: 3 × 4 = 12.
Reescrevemos a expressão: 25 + 12 ÷ 3.
Passo 4: Operações restantes.
Seguindo a hierarquia, a divisão vem antes da soma: 12 ÷ 3 = 4.
Agora, resolvemos a soma: 25 + 4 = 29.
Resultado: 29.
Quadro-Resumo: Roteiro para Expressões Combinadas
| Etapa | Ação |
| 1 | Resolva os parênteses ( ), aplicando a hierarquia interna. |
| 2 | Resolva os colchetes [ ], aplicando a hierarquia interna. |
| 3 | Resolva as chaves { }, aplicando a hierarquia interna. |
| 4 | Resolva multiplicações e divisões restantes (esquerda para a direita). |
| 5 | Resolva adições e subtrações restantes (esquerda para a direita). |
Exemplos Comentados
Exemplo 1 – As Quatro Operações com Parênteses:
"Resolva (6 + 4) × 2 - 8 ÷ 2."
· Análise: Há parênteses, soma, multiplicação, subtração e divisão. Seguimos a hierarquia.
· Passo 1: Resolva o parêntese: (6 + 4) = 10. A expressão fica: 10 × 2 - 8 ÷ 2.
· Passo 2: Multiplicação e divisão (esquerda para a direita): 10 × 2 = 20; 8 ÷ 2 = 4. A expressão fica: 20 - 4.
· Passo 3: Subtração: 20 - 4 = 16.
· Resultado: 16.
Exemplo 2 – Com Parênteses e Colchetes:
"Resolva [ 20 - (3 × 5) ] + 7 × 2."
· Análise: Parêntese com multiplicação, colchete com subtração, e depois soma e multiplicação fora.
· Passo 1: Dentro do parêntese: 3 × 5 = 15. Expressão fica: [ 20 - 15 ] + 7 × 2.
· Passo 2: Dentro do colchete: 20 - 15 = 5. Expressão fica: 5 + 7 × 2.
· Passo 3: Multiplicação antes da soma: 7 × 2 = 14. Expressão fica: 5 + 14.
· Passo 4: Soma: 5 + 14 = 19.
· Resultado: 19.
Exemplo 3 – Com as Quatro Operações e Três Símbolos:
"Resolva { 30 - [ 4 × (5 - 3) ] } ÷ 2 + 1."
· Passo 1: Parêntese: (5 - 3) = 2. Expressão: { 30 - [ 4 × 2 ] } ÷ 2 + 1.
· Passo 2: Colchete: [ 4 × 2 ] = 8. Expressão: { 30 - 8 } ÷ 2 + 1.
· Passo 3: Chaves: { 30 - 8 } = 22. Expressão: 22 ÷ 2 + 1.
· Passo 4: Divisão primeiro: 22 ÷ 2 = 11. Expressão: 11 + 1.
· Passo 5: Soma: 11 + 1 = 12.
· Resultado: 12.
"Resolva (6 + 4) × 2 - 8 ÷ 2."
· Análise: Há parênteses, soma, multiplicação, subtração e divisão. Seguimos a hierarquia.
· Passo 1: Resolva o parêntese: (6 + 4) = 10. A expressão fica: 10 × 2 - 8 ÷ 2.
· Passo 2: Multiplicação e divisão (esquerda para a direita): 10 × 2 = 20; 8 ÷ 2 = 4. A expressão fica: 20 - 4.
· Passo 3: Subtração: 20 - 4 = 16.
· Resultado: 16.
Exemplo 2 – Com Parênteses e Colchetes:
"Resolva [ 20 - (3 × 5) ] + 7 × 2."
· Análise: Parêntese com multiplicação, colchete com subtração, e depois soma e multiplicação fora.
· Passo 1: Dentro do parêntese: 3 × 5 = 15. Expressão fica: [ 20 - 15 ] + 7 × 2.
· Passo 2: Dentro do colchete: 20 - 15 = 5. Expressão fica: 5 + 7 × 2.
· Passo 3: Multiplicação antes da soma: 7 × 2 = 14. Expressão fica: 5 + 14.
· Passo 4: Soma: 5 + 14 = 19.
· Resultado: 19.
Exemplo 3 – Com as Quatro Operações e Três Símbolos:
"Resolva { 30 - [ 4 × (5 - 3) ] } ÷ 2 + 1."
· Passo 1: Parêntese: (5 - 3) = 2. Expressão: { 30 - [ 4 × 2 ] } ÷ 2 + 1.
· Passo 2: Colchete: [ 4 × 2 ] = 8. Expressão: { 30 - 8 } ÷ 2 + 1.
· Passo 3: Chaves: { 30 - 8 } = 22. Expressão: 22 ÷ 2 + 1.
· Passo 4: Divisão primeiro: 22 ÷ 2 = 11. Expressão: 11 + 1.
· Passo 5: Soma: 11 + 1 = 12.
· Resultado: 12.
O Essencial (Guarde Isso)
- Resolva de dentro para fora: primeiro os parênteses, depois os colchetes, depois as chaves.
- Dentro de cada símbolo, respeite a hierarquia: multiplicação e divisão antes de soma e subtração.
- Depois de eliminar todos os símbolos, siga a hierarquia: multiplicação/divisão primeiro, depois soma/subtração.
- Operações do mesmo nível (× e ÷; + e −) são resolvidas da esquerda para a direita.
- Reescreva a expressão a cada passo para não se perder.
Dicas Práticas
Dica 1 (Sublinhe ou circule o que vai resolver): A cada passo, marque o símbolo de agrupamento que você está resolvendo. Isso ajuda a focar e a não pular etapas.
Dica 2 (Reescreva tudo, mesmo o que não muda): Copiar a expressão inteira a cada passo pode parecer trabalhoso, mas evita erros de "mágica" — aquele momento em que você acha que fez a conta de cabeça e se perdeu.
Dica 3 (Cuidado com a divisão antes da soma): Um erro clássico é somar antes de dividir quando a divisão está depois de um símbolo de agrupamento. Lembre-se: depois que os símbolos são eliminados, a multiplicação e a divisão voltam a ter prioridade.
Dica 4 (Verifique o resultado com uma segunda resolução): Se possível, refaça a conta em uma ordem diferente (por exemplo, conferindo os cálculos de trás para frente) para garantir que não houve erro de distração.
Dica 2 (Reescreva tudo, mesmo o que não muda): Copiar a expressão inteira a cada passo pode parecer trabalhoso, mas evita erros de "mágica" — aquele momento em que você acha que fez a conta de cabeça e se perdeu.
Dica 3 (Cuidado com a divisão antes da soma): Um erro clássico é somar antes de dividir quando a divisão está depois de um símbolo de agrupamento. Lembre-se: depois que os símbolos são eliminados, a multiplicação e a divisão voltam a ter prioridade.
Dica 4 (Verifique o resultado com uma segunda resolução): Se possível, refaça a conta em uma ordem diferente (por exemplo, conferindo os cálculos de trás para frente) para garantir que não houve erro de distração.
Dúvidas Frequentes
Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade mesmo?
Sim. Quando aparecem juntas (ex.: 12 ÷ 3 × 2), resolva na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. Não resolva a multiplicação primeiro "porque é mais forte" — isso é um erro comum.
E se eu tiver duas operações iguais dentro de um colchete?
Resolva na ordem em que aparecem. Por exemplo, [ 10 - 3 + 2 ]: 10 - 3 = 7, 7 + 2 = 9. Não some primeiro (3 + 2 = 5, 10 - 5 = 5) — isso daria um resultado errado.
Como eu sei se devo usar colchetes ou chaves ao escrever uma expressão?
Na maioria dos casos, as expressões já vêm prontas. Se você for criar uma, use parênteses para a camada mais interna, colchetes para a intermediária e chaves para a externa. Essa é a convenção universal.
Sim. Quando aparecem juntas (ex.: 12 ÷ 3 × 2), resolva na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. Não resolva a multiplicação primeiro "porque é mais forte" — isso é um erro comum.
E se eu tiver duas operações iguais dentro de um colchete?
Resolva na ordem em que aparecem. Por exemplo, [ 10 - 3 + 2 ]: 10 - 3 = 7, 7 + 2 = 9. Não some primeiro (3 + 2 = 5, 10 - 5 = 5) — isso daria um resultado errado.
Como eu sei se devo usar colchetes ou chaves ao escrever uma expressão?
Na maioria dos casos, as expressões já vêm prontas. Se você for criar uma, use parênteses para a camada mais interna, colchetes para a intermediária e chaves para a externa. Essa é a convenção universal.
Exercícios
Nível FácilQuestão 1 – Resolva as expressões com as quatro operações e parênteses:
a) (8 + 2) × 3 - 5 = ____
b) 20 - (4 × 3) + 1 = ____
c) (10 - 2) ÷ 2 + 6 = ____
Questão 2 – Resolva as expressões com parênteses e colchetes:
a) [ (5 + 3) × 2 ] - 4 = ____
b) 30 - [ 6 × (2 + 1) ] = ____
Nível MédioQuestão 3 – Resolva as expressões com as quatro operações e dois símbolos:
a) 40 - [ 3 × (8 - 3) ] + 2 = ____
b) (12 + 8) ÷ 4 × 3 = ____
Questão 4 – Resolva as expressões com três símbolos:
a) { 20 - [ 2 × (3 + 4) ] } + 5 = ____
b) 50 ÷ { 2 + [ 3 × (1 + 1) ] } = ____
Questão 5 – Problema contextualizado:
Um grupo de 4 amigos foi a um restaurante. O valor total da conta foi 120 reais. Eles tinham um vale-desconto de 20 reais, que deve ser subtraído do total antes de dividir a conta entre os 4. Escreva a expressão numérica que representa essa situação (usando parênteses) e resolva-a.
Nível AvançadoQuestão 6 – Desafio:
Resolva a expressão:
100 - { 5 × [ 8 - (12 ÷ 4) ] + 10 } ÷ 2 = ____
a) (8 + 2) × 3 - 5 = ____
b) 20 - (4 × 3) + 1 = ____
c) (10 - 2) ÷ 2 + 6 = ____
Questão 2 – Resolva as expressões com parênteses e colchetes:
a) [ (5 + 3) × 2 ] - 4 = ____
b) 30 - [ 6 × (2 + 1) ] = ____
Nível MédioQuestão 3 – Resolva as expressões com as quatro operações e dois símbolos:
a) 40 - [ 3 × (8 - 3) ] + 2 = ____
b) (12 + 8) ÷ 4 × 3 = ____
Questão 4 – Resolva as expressões com três símbolos:
a) { 20 - [ 2 × (3 + 4) ] } + 5 = ____
b) 50 ÷ { 2 + [ 3 × (1 + 1) ] } = ____
Questão 5 – Problema contextualizado:
Um grupo de 4 amigos foi a um restaurante. O valor total da conta foi 120 reais. Eles tinham um vale-desconto de 20 reais, que deve ser subtraído do total antes de dividir a conta entre os 4. Escreva a expressão numérica que representa essa situação (usando parênteses) e resolva-a.
Nível AvançadoQuestão 6 – Desafio:
Resolva a expressão:
100 - { 5 × [ 8 - (12 ÷ 4) ] + 10 } ÷ 2 = ____
Gabarito Comentado
Questão 1
a) (8 + 2) × 3 - 5 = 10 × 3 - 5 = 30 - 5 = 25.
b) 20 - (4 × 3) + 1 = 20 - 12 + 1 = 8 + 1 = 9.
c) (10 - 2) ÷ 2 + 6 = 8 ÷ 2 + 6 = 4 + 6 = 10.
Questão 2
a) [ (5 + 3) × 2 ] - 4 = [ 8 × 2 ] - 4 = 16 - 4 = 12.
b) 30 - [ 6 × (2 + 1) ] = 30 - [ 6 × 3 ] = 30 - 18 = 12.
Questão 3
a) 40 - [ 3 × (8 - 3) ] + 2 = 40 - [ 3 × 5 ] + 2 = 40 - 15 + 2 = 25 + 2 = 27.
b) (12 + 8) ÷ 4 × 3 = 20 ÷ 4 × 3 = 5 × 3 = 15.
Questão 4
a) { 20 - [ 2 × (3 + 4) ] } + 5 = { 20 - [ 2 × 7 ] } + 5 = { 20 - 14 } + 5 = 6 + 5 = 11.
b) 50 ÷ { 2 + [ 3 × (1 + 1) ] } = 50 ÷ { 2 + [ 3 × 2 ] } = 50 ÷ { 2 + 6 } = 50 ÷ 8 = 6,25.
Questão 5
Expressão: (120 - 20) ÷ 4.
Resolução: (120 - 20) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25 reais por pessoa.
Questão 6
100 - { 5 × [ 8 - (12 ÷ 4) ] + 10 } ÷ 2
Passo 1: parêntese: (12 ÷ 4) = 3. Expressão: 100 - { 5 × [ 8 - 3 ] + 10 } ÷ 2.
Passo 2: colchete: [ 8 - 3 ] = 5. Expressão: 100 - { 5 × 5 + 10 } ÷ 2.
Passo 3: chaves: { 5 × 5 + 10 } = { 25 + 10 } = 35. Expressão: 100 - 35 ÷ 2.
Passo 4: divisão: 35 ÷ 2 = 17,5. Expressão: 100 - 17,5 = 82,5.
Resultado: 82,5.
a) (8 + 2) × 3 - 5 = 10 × 3 - 5 = 30 - 5 = 25.
b) 20 - (4 × 3) + 1 = 20 - 12 + 1 = 8 + 1 = 9.
c) (10 - 2) ÷ 2 + 6 = 8 ÷ 2 + 6 = 4 + 6 = 10.
Questão 2
a) [ (5 + 3) × 2 ] - 4 = [ 8 × 2 ] - 4 = 16 - 4 = 12.
b) 30 - [ 6 × (2 + 1) ] = 30 - [ 6 × 3 ] = 30 - 18 = 12.
Questão 3
a) 40 - [ 3 × (8 - 3) ] + 2 = 40 - [ 3 × 5 ] + 2 = 40 - 15 + 2 = 25 + 2 = 27.
b) (12 + 8) ÷ 4 × 3 = 20 ÷ 4 × 3 = 5 × 3 = 15.
Questão 4
a) { 20 - [ 2 × (3 + 4) ] } + 5 = { 20 - [ 2 × 7 ] } + 5 = { 20 - 14 } + 5 = 6 + 5 = 11.
b) 50 ÷ { 2 + [ 3 × (1 + 1) ] } = 50 ÷ { 2 + [ 3 × 2 ] } = 50 ÷ { 2 + 6 } = 50 ÷ 8 = 6,25.
Questão 5
Expressão: (120 - 20) ÷ 4.
Resolução: (120 - 20) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25 reais por pessoa.
Questão 6
100 - { 5 × [ 8 - (12 ÷ 4) ] + 10 } ÷ 2
Passo 1: parêntese: (12 ÷ 4) = 3. Expressão: 100 - { 5 × [ 8 - 3 ] + 10 } ÷ 2.
Passo 2: colchete: [ 8 - 3 ] = 5. Expressão: 100 - { 5 × 5 + 10 } ÷ 2.
Passo 3: chaves: { 5 × 5 + 10 } = { 25 + 10 } = 35. Expressão: 100 - 35 ÷ 2.
Passo 4: divisão: 35 ÷ 2 = 17,5. Expressão: 100 - 17,5 = 82,5.
Resultado: 82,5.
Checklist da Aula 3
- Sei aplicar a hierarquia das operações em expressões com as quatro operações.
- Resolvo expressões de dentro para fora: ( ) → [ ] → { }.
- Respeito a prioridade da multiplicação e divisão sobre a soma e subtração, mesmo dentro dos símbolos.
- Resolvo operações do mesmo nível da esquerda para a direita.
- Resolvi os exercícios e compreendi meus erros.
- Estou preparado(a) para a Aula 4 – Expressões com Números Negativos.
Ligação com a Próxima Aula
Você agora domina a combinação das quatro operações em expressões com parênteses, colchetes e chaves. Mas, até aqui, trabalhamos apenas com números positivos. E quando a expressão mistura números positivos e negativos? Como fica a hierarquia das operações nesse caso?
Na Aula 4 – Expressões com Números Negativos, você aprenderá a aplicar tudo o que viu até agora em expressões que envolvem o sinal de menos tanto como operador de subtração quanto como indicador de número negativo. Até lá!
Na Aula 4 – Expressões com Números Negativos, você aprenderá a aplicar tudo o que viu até agora em expressões que envolvem o sinal de menos tanto como operador de subtração quanto como indicador de número negativo. Até lá!
