Objetivo da Aula
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Compreender o que são critérios de divisibilidade e para que servem;
- Aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 10 para determinar rapidamente se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão completa;
- Utilizar esses critérios na resolução de problemas e na simplificação de cálculos.
Por que isso é importante?
Na Aula 2, você aprendeu a encontrar divisores testando divisões. Mas, quando os números são grandes, testar um por um pode ser demorado. Imagine precisar verificar se 1.458 é divisível por 3 — será que você precisa armar a conta completa?
A resposta é não. Existem regras simples, chamadas critérios de divisibilidade, que permitem descobrir se um número é divisível por outro apenas observando seus algarismos ou fazendo contas muito rápidas. Esses critérios são atalhos que economizam tempo e esforço, e são amplamente usados em matemática — da simplificação de frações à resolução de equações.
A resposta é não. Existem regras simples, chamadas critérios de divisibilidade, que permitem descobrir se um número é divisível por outro apenas observando seus algarismos ou fazendo contas muito rápidas. Esses critérios são atalhos que economizam tempo e esforço, e são amplamente usados em matemática — da simplificação de frações à resolução de equações.
Contexto Curioso
Os critérios de divisibilidade não são invenções modernas. Matemáticos da Índia antiga, por volta do século VII, já conheciam regras para verificar se um número era divisível por 2, 3, 5 e 7. O matemático francês Blaise Pascal, no século XVII, dedicou-se a estudar esses critérios e desenvolveu um método geral para criar regras de divisibilidade para qualquer número.
O mais curioso é que muitos desses critérios são tão simples que podem ser ensinados a uma criança. Basta olhar para o último algarismo para saber se um número é divisível por 2 ou por 5. Basta somar os algarismos para saber se é divisível por 3. Essa simplicidade esconde uma beleza matemática profunda — e é exatamente isso que vamos explorar nesta aula.
O mais curioso é que muitos desses critérios são tão simples que podem ser ensinados a uma criança. Basta olhar para o último algarismo para saber se um número é divisível por 2 ou por 5. Basta somar os algarismos para saber se é divisível por 3. Essa simplicidade esconde uma beleza matemática profunda — e é exatamente isso que vamos explorar nesta aula.
Teoria Explicada do Zero
O que são Critérios de Divisibilidade?
Critérios de divisibilidade são regras que permitem descobrir se um número é divisível por outro sem precisar fazer a divisão completa. Cada número tem seu próprio critério, baseado na observação dos algarismos que o compõem.
Divisibilidade por 2
Regra: Um número é divisível por 2 quando seu último algarismo é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Divisibilidade por 3
Regra: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Divisibilidade por 5
Regra: Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo é 0 ou 5.
Divisibilidade por 10
Regra: Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo é 0.
Quadro-Resumo: Critérios de Divisibilidade
Critérios de divisibilidade são regras que permitem descobrir se um número é divisível por outro sem precisar fazer a divisão completa. Cada número tem seu próprio critério, baseado na observação dos algarismos que o compõem.
Divisibilidade por 2
Regra: Um número é divisível por 2 quando seu último algarismo é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
| Exemplo | Último Algarismo | É divisível por 2? |
| 34 | 4 (par) | Sim |
| 127 | 7 (ímpar) | Não |
| 1000 | 0 (par) | Sim |
Divisibilidade por 3
Regra: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.
| Exemplo | Soma dos Algarismos | A soma é múltipla de 3? | É divisível por 3? |
| 42 | 4 + 2 = 6 | Sim (6 ÷ 3 = 2) | Sim |
| 125 | 1 + 2 + 5 = 8 | Não (8 ÷ 3 = 2, resto 2) | Não |
| 1.002 | 1 + 0 + 0 + 2 = 3 | Sim (3 ÷ 3 = 1) | Sim |
Divisibilidade por 5
Regra: Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo é 0 ou 5.
| Exemplo | Último Algarismo | É divisível por 5? |
| 85 | 5 | Sim |
| 90 | 0 | Sim |
| 123 | 3 | Não |
Divisibilidade por 10
Regra: Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo é 0.
| Exemplo | Último Algarismo | É divisível por 10? |
| 250 | 0 | Sim |
| 1.000 | 0 | Sim |
| 305 | 5 | Não |
Quadro-Resumo: Critérios de Divisibilidade
| Divisor | Critério | Exemplo (Sim) | Exemplo (Não) |
| 2 | O último algarismo é par (0, 2, 4, 6, 8). | 76 (termina em 6) | 81 (termina em 1) |
| 3 | A soma dos algarismos é divisível por 3. | 51 (5 + 1 = 6) | 52 (5 + 2 = 7) |
| 5 | O último algarismo é 0 ou 5. | 105 (termina em 5) | 202 (termina em 2) |
| 10 | O último algarismo é 0. | 340 (termina em 0) | 345 (termina em 5) |
Exemplos Comentados
Exemplo 1 – Verificando Divisibilidade por 2:
"O número 3.784 é divisível por 2?"
-> Análise: O último algarismo é 4, que é par.
Resposta: Sim, 3.784 é divisível por 2.
Exemplo 2 – Verificando Divisibilidade por 3:
"O número 4.521 é divisível por 3?"
-> Análise: Somamos os algarismos: 4 + 5 + 2 + 1 = 12. O 12 é divisível por 3 (12 ÷ 3 = 4).
Resposta: Sim, 4.521 é divisível por 3.
Exemplo 3 – Verificando Divisibilidade por 5 e por 10:
"O número 1.230 é divisível por 5? E por 10?"
-> Análise: O último algarismo é 0. Um número terminado em 0 é divisível tanto por 5 quanto por 10.
Resposta: Sim, 1.230 é divisível por 5 e por 10.
"O número 3.784 é divisível por 2?"
-> Análise: O último algarismo é 4, que é par.
Resposta: Sim, 3.784 é divisível por 2.
Exemplo 2 – Verificando Divisibilidade por 3:
"O número 4.521 é divisível por 3?"
-> Análise: Somamos os algarismos: 4 + 5 + 2 + 1 = 12. O 12 é divisível por 3 (12 ÷ 3 = 4).
Resposta: Sim, 4.521 é divisível por 3.
Exemplo 3 – Verificando Divisibilidade por 5 e por 10:
"O número 1.230 é divisível por 5? E por 10?"
-> Análise: O último algarismo é 0. Um número terminado em 0 é divisível tanto por 5 quanto por 10.
Resposta: Sim, 1.230 é divisível por 5 e por 10.
O Essencial (Guarde Isso)
- Critérios de divisibilidade são atalhos para saber se um número é divisor de outro sem fazer a conta completa.
- Por 2: o último algarismo é par (0, 2, 4, 6, 8).
- Por 3: a soma dos algarismos é divisível por 3.
- Por 5: o último algarismo é 0 ou 5.
- Por 10: o último algarismo é 0.
- Esses critérios serão ferramentas valiosas nos próximos módulos, especialmente para simplificar frações e encontrar o mínimo múltiplo comum.
Dicas Práticas
Dica 1 (Use o critério do 3 em cascata): Se a soma dos algarismos for grande, você pode aplicar o critério novamente sobre a soma. Por exemplo, para 987: 9 + 8 + 7 = 24, e 2 + 4 = 6, que é divisível por 3.
Dica 2 (Combine critérios): Um número divisível por 10 também é divisível por 2 e por 5. Um número divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo é divisível por 6.
Dica 3 (Critério do 2 e do 5 dependem só do último algarismo): Não importa o tamanho do número — basta olhar para o final. Isso vale para qualquer número, por maior que seja.
Dica 4 (O critério do 3 é o mais disfarçado): Às vezes, um número parece não ser divisível por 3, mas a soma dos seus algarismos revela o contrário. Sempre faça a soma antes de decidir.
Dica 2 (Combine critérios): Um número divisível por 10 também é divisível por 2 e por 5. Um número divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo é divisível por 6.
Dica 3 (Critério do 2 e do 5 dependem só do último algarismo): Não importa o tamanho do número — basta olhar para o final. Isso vale para qualquer número, por maior que seja.
Dica 4 (O critério do 3 é o mais disfarçado): Às vezes, um número parece não ser divisível por 3, mas a soma dos seus algarismos revela o contrário. Sempre faça a soma antes de decidir.
Dúvidas Frequentes
Por que o critério do 3 funciona pela soma dos algarismos?
Porque o nosso sistema de numeração é decimal e posicional. Um número como 42 é 4 × 10 + 2. O 10 deixa resto 1 quando dividido por 3, então a divisibilidade por 3 depende apenas da soma 4 + 2. Para nossos objetivos, basta saber aplicar a regra — a demonstração completa virá em estudos mais avançados.
Existem critérios para outros números?
Sim. Existem critérios para 4, 6, 8, 9 e outros. Neste módulo, focaremos nos mais simples e mais cobrados: 2, 3, 5 e 10.
Um número pode ser divisível por mais de um desses números ao mesmo tempo?
Sim. Por exemplo, 60 é divisível por 2, 3, 5 e 10 simultaneamente. Quando um número é divisível por vários números, dizemos que ele tem múltiplos divisores em comum com eles.
Porque o nosso sistema de numeração é decimal e posicional. Um número como 42 é 4 × 10 + 2. O 10 deixa resto 1 quando dividido por 3, então a divisibilidade por 3 depende apenas da soma 4 + 2. Para nossos objetivos, basta saber aplicar a regra — a demonstração completa virá em estudos mais avançados.
Existem critérios para outros números?
Sim. Existem critérios para 4, 6, 8, 9 e outros. Neste módulo, focaremos nos mais simples e mais cobrados: 2, 3, 5 e 10.
Um número pode ser divisível por mais de um desses números ao mesmo tempo?
Sim. Por exemplo, 60 é divisível por 2, 3, 5 e 10 simultaneamente. Quando um número é divisível por vários números, dizemos que ele tem múltiplos divisores em comum com eles.
Exercícios
Nível FácilQuestão 1 – Usando o critério adequado, verifique se os números abaixo são divisíveis por 2, por 3, por 5 e por 10. Marque SIM ou NÃO em cada caso.
Questão 2 – Sem fazer a divisão completa, determine se 5.832 é divisível por 3.
Nível MédioQuestão 3 – Complete as lacunas:
a) Um número é divisível por 2 se seu último algarismo for __________.
b) Um número é divisível por 3 se a __________ de seus algarismos for divisível por 3.
c) Um número é divisível por 5 se seu último algarismo for __________ ou __________.
d) Um número é divisível por 10 se seu último algarismo for __________.
Questão 4 – O número 4.725 é divisível por 3? E por 5? Justifique usando os critérios.
Questão 5 – Problema contextualizado:
Uma fábrica embala parafusos em caixas com 10 unidades cada. O lote de hoje tem 2.540 parafusos. Sem fazer a divisão, é possível afirmar que todos os parafusos serão embalados sem sobra? Justifique.
Nível AvançadoQuestão 6 – Desafio:
Encontre o menor número maior que 100 que seja divisível simultaneamente por 2, 3 e 5.
| Número | Divisível por 2? | Divisível por 3? | Divisível por 5? | Divisível por 10? |
| 45 | ||||
| 120 | ||||
| 81 | ||||
| 306 |
Questão 2 – Sem fazer a divisão completa, determine se 5.832 é divisível por 3.
Nível MédioQuestão 3 – Complete as lacunas:
a) Um número é divisível por 2 se seu último algarismo for __________.
b) Um número é divisível por 3 se a __________ de seus algarismos for divisível por 3.
c) Um número é divisível por 5 se seu último algarismo for __________ ou __________.
d) Um número é divisível por 10 se seu último algarismo for __________.
Questão 4 – O número 4.725 é divisível por 3? E por 5? Justifique usando os critérios.
Questão 5 – Problema contextualizado:
Uma fábrica embala parafusos em caixas com 10 unidades cada. O lote de hoje tem 2.540 parafusos. Sem fazer a divisão, é possível afirmar que todos os parafusos serão embalados sem sobra? Justifique.
Nível AvançadoQuestão 6 – Desafio:
Encontre o menor número maior que 100 que seja divisível simultaneamente por 2, 3 e 5.
Gabarito Comentado
Questão 1
Questão 2
Soma dos algarismos: 5 + 8 + 3 + 2 = 18. 18 é divisível por 3 (18 ÷ 3 = 6). Portanto, 5.832 é divisível por 3.
Questão 3
a) par (0, 2, 4, 6 ou 8).
b) soma.
c) 0 ou 5.
d) 0.
Questão 4
Divisível por 3? 4 + 7 + 2 + 5 = 18. 18 ÷ 3 = 6. Sim.
Divisível por 5? Termina em 5. Sim.
Questão 5
Sim, porque 2.540 termina em 0. Segundo o critério de divisibilidade por 10, quando um número termina em 0, ele é divisível por 10. Portanto, não haverá sobra.
Questão 6
Para ser divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente, o número deve ser divisível por 2 × 3 × 5 = 30.
Múltiplos de 30 acima de 100: 120, 150, 180...
O menor é 120.
Verificando: termina em 0 (divisível por 2, 5 e 10), soma 1+2+0=3 (divisível por 3).
| Número | Divisível por 2? | Divisível por 3? | Divisível por 5? | Divisível por 10? |
| 45 | Não | Sim | Sim | Não |
| 120 | Sim (termina em 0) | Sim (1+2+0=3) | Sim (termina em 0) | Sim (termina em 0) |
| 81 | Não (termina em 1) | Sim (8+1=9) | Não (termina em 1) | Não (termina em 1) |
| 306 | Sim (termina em 6) | Sim (3+0+6=9) | Não (termina em 6) | Não (termina em 6) |
Questão 2
Soma dos algarismos: 5 + 8 + 3 + 2 = 18. 18 é divisível por 3 (18 ÷ 3 = 6). Portanto, 5.832 é divisível por 3.
Questão 3
a) par (0, 2, 4, 6 ou 8).
b) soma.
c) 0 ou 5.
d) 0.
Questão 4
Divisível por 3? 4 + 7 + 2 + 5 = 18. 18 ÷ 3 = 6. Sim.
Divisível por 5? Termina em 5. Sim.
Questão 5
Sim, porque 2.540 termina em 0. Segundo o critério de divisibilidade por 10, quando um número termina em 0, ele é divisível por 10. Portanto, não haverá sobra.
Questão 6
Para ser divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente, o número deve ser divisível por 2 × 3 × 5 = 30.
Múltiplos de 30 acima de 100: 120, 150, 180...
O menor é 120.
Verificando: termina em 0 (divisível por 2, 5 e 10), soma 1+2+0=3 (divisível por 3).
Checklist da Aula 3
- Compreendi o que são critérios de divisibilidade.
- Sei aplicar o critério de divisibilidade por 2 (último algarismo par).
- Sei aplicar o critério de divisibilidade por 3 (soma dos algarismos divisível por 3).
- Sei aplicar o critério de divisibilidade por 5 (último algarismo 0 ou 5).
- Sei aplicar o critério de divisibilidade por 10 (último algarismo 0).
- Resolvi os exercícios e compreendi meus erros.
- Estou preparado(a) para a Aula 4 – Números Primos e Números Compostos.
Ligação com a Próxima Aula
Você agora sabe identificar rapidamente se um número é divisível por 2, 3, 5 e 10. Esses critérios serão muito úteis na próxima aula, quando você aprenderá a classificar os números em duas grandes categorias: primos e compostos.
Na Aula 4 – Números Primos e Números Compostos, você descobrirá que alguns números têm apenas dois divisores, enquanto outros têm vários — e entenderá por que os números primos são considerados os "átomos" da matemática. Até lá!
Na Aula 4 – Números Primos e Números Compostos, você descobrirá que alguns números têm apenas dois divisores, enquanto outros têm vários — e entenderá por que os números primos são considerados os "átomos" da matemática. Até lá!
